В какой стране сутки начинаются не в 00:00 часов, а с восходом солнца?

В Эфиопии. Но, если разобраться, продолжительность суток в этой стране все равно приблизительно равна 24 часам. Дело в том, что государство расположено вблизи Экватора и там нет существенных годичных изменений в продолжительности светового дня. Если понаблюдать за восходом Солнца в Аддис-Абебе (столице и крупнейшем городе Эфиопии), то можно увидеть, что:

• в марте, в месяце, в котором в наших широтах день приблизительно равен ночи, самый поздний восход солнца в 6:38 (1 марта), самый ранний в 6:22 (31 марта);
• В июне, когда мы празднуем победу светового дня над ночью, в столице Эфиопии восход светила колеблется от 6:04 (1 июня) до 6:09 (30 июня);
• В сентябре, в месяце, когда у нас осеннее солнцестояние - в Аддис-Абебе сутки (вместе с восходом) начинаются в 6:16 1-го числа и в 6:13 30-го;
• И наконец, в декабре, когда мы "света белого не видим", эфиопцы радуются восходу солнца в 6:25 первого числа месяца и в 6:39 в канун нового года.

итого - солнце там встает примерно в одно и то же время, как и у нас начинаются сутки.

Для сравнения, в Москве -

• 1-го марта Солнце встает в 6:58;
• 1-го июня в 4:52;
• 1-го сентября в 6:35;
• 1-го декабря в 9:35.

И да, календарь в Эфиопии содержит 13 месяцев, из них 12 - по 30 дней, а последний тринадцатый - из пяти или шести в зависимости от високосности.

Совершенно не готов ничего сказать о современных странах.

Но в Та-Кемет (Древнем Египте) сутки начинались с восходом солнца, когда Бог Ра на своей колеснице начинал движение по Своду Небес (более точно указано в "Книге Пирамид"; XXV-ый - XXIII-ий века до новой эры).