Почему Святой Илья стал преемником языческого бога Перуна?

Отвечая на вопрос буквально: потому, что Пророк Илья был взят живым на небо, куда вознесся на колеснице, сопровождаемый громом и молниями.

Строго же говоря, святого Илью не вполне корректно назвать "преемником" или "наследником" Перуна. Скорее - "заместителем".

Пророк Илья, возносящийся/летящий по небу в раскатах грома и вспышках молний, оказался схож с языческим Перуном. Сходство внешних атрибутов позволило вначале идентифицировать, сблизить образы Перуна и Ильи, а затем и заместить первого вторым.

Вспомним и традицию ставить христианские храмы на месте языческих святилищ. Люди мистически настроенные скажут, что здесь уже "намоленное место". С рациональной же точки зрения, мы ставим церковь на месте, уже считающемся священным, куда итак приходят молиться. Как бы здесь был и будет храм, и даже вроде бы храм того же божества, но под новым именем. Ведь и культ Перуна лишь незадолго до того стал государственным; лишь с что государства он объявляется "главным" и всеобщим.

Перун - прежде всего божество воинов, князя и дружины. В народе он не был столь распрстранен.

Итак, Пророк Илья как бы "подменяет" собой фигуру Перуна. Она образа постепенно сливаются в сознании, а следующие поколения уже и не помнят, что на месте церкви Ильи некогда было святилище Перуна. Но образы их остаются связаны, и теперь "все знают", что во время грозы "Илья Пророк едет" на громовой колеснице.

Вроде бы все нормально: языческий культ надёжно забыт. А что на поверку? Почти прежнее язычество под маской христианства. Что осознавали древнерусские книжники, называвшие подобное - "двоеверием".

p.s.

Подобным же образом Святым Власием "закрыли" Велеса; Святой Параскевой и отчасти Богородицей - "заместили" Макошь.